С.М.Пригарин

 

Численные модели случайных процессов и полей

 

методические указания к курсу "Моделирование случайных процессов и полей", читаемому на кафедре вычислительной математики ММФ НГУ

 

 

 

 

Вместо введения

 

Компьютерное моделирование является одним из самых эффективных средств, позволяющих проникнуть в суть природных явлений и предсказать последствия воздействия деятельности человека на окружающую среду. Наряду с детерминированными моделями все больший вес в научных исследованиях приобретают стохастические модели. В последнее время активно разрабатываются общие методы численного моделирования случайных процессов, а также стремительно расширяется область применения стохастических моделей. По сути дела, совокупность результатов, полученных в области численного моделирования случайных функций, можно выделить в самостоятельный раздел теории методов Монте-Карло.

 

·       Программа курса

·       Рекомендуемая литература

·       Темы для контрольных заданий, рефератов, самостоятельных исследований и дипломных работ

·       Ссылки на ресурсы в Интернете

 


Программа курса

 

 

0.  Вводная часть

 

0.1  О постановках задач и приложениях.

                            

0.2  О моделировании случайных чисел. Источники случайных чисел. Методы моделирования псевдослучайных чисел. О программной реализации мультипликативных генераторов. Квазислучайные последовательности.

 

0.3  Моделирование гауссовских случайных векторов. Условные гауссовские распределения. Моделирование гауссовских распределений при линейных ограничениях.

 

0.4  Пуассоновский процесс: определение, свойства и 2 алгоритма численного моделирования.

 

0.5  Винеровский процесс: определение, свойства и 3 алгоритма численного моделирования.

 

 

1.  Моделирование гауссовских случайных процессов и полей

 

1.1  Модели скользящего суммирования (СС). Моделирование стационарных последовательностей. Физически осуществимые фильтры. Моделирование однородных полей. Формулы для вычисления коэффициентов скользящего суммирования по спектральной плотности однородного случайного поля.

 

1.2  Модели авторегрессии (АР). Моделирование стационарных последовательностей. Условие устойчивости. Моделирование однородных полей.

 

1.3  Модели АРПСС.

 

1.4  Модели почти периодических случайных процессов.

 

1.5  Спектральные модели.

1.5.1  Спектральные разложения и модели для стационарных процессов.

1.5.2  Спектральные разложения и модели для однородных полей.

1.5.3  Спектральные разложения и модели для однородных изотропных полей.

1.5.4  Спектральные разложения и модели для изотропных полей на сфере.

1.5.5  Уточнение спектральных моделей на одном вероятностном пространстве.

1.5.6  Условные спектральные модели.

1.5.7  Неоднородные спектральные модели.

1.5.8  Приближенное моделирование гауссовских векторов стационарного вида с помощью дискретного преобразования Фурье.

1.5.9  О погрешности спектральных моделей.

1.5.10  О векторных спектральных моделях. Соленоидальные и потенциальные поля.

 

1.6  Общие принципы моделирования гауссовских распределений: линейные преобразований и центральная предельная теорема.

 

 

2. Негауссовские модели

 

2.1  Условия совместимости ковариаций и маргинальных распределений.

 

2.2  Одномерные распределения, которые не накладывают ограничения на возможные корреляции стационарного процесса.

 

2.3  Метод обратной функции распределения.

 

2.4  Модели на основе стохастических дифференциальных уравнений.

 

2.5  Обзор других моделей (схема скользящего суммирования для моделирования однородных полей с безгранично делимым одномерным распределением, моделирование изотропных случайных полей на плоскости на основе пуассоновского семейства прямых).

 

 

3. Дополнительные вопросы

 

3.1  Вопросы сходимости численных моделей случайных процессов и полей. Сходимость конечномерных распределений. Слабая сходимость. Условия слабой сходимости в различных функциональных пространствах. Слабая сходимость спектральных моделей.

 

3.2.  Модели случайных процессов и полей в приложениях. Пространственно-временная модель поверхности морского волнения. Модели для имитации стохастической структуры облачности. Модели, используемые в теории турбулентности, климатологии, геофизике и др.

 

3.3  Некоторые другие задачи связанные с моделированием случайных процессов и полей. Интерполяция случайных последовательностей и дискретных случайных полей. О численном решении краевых задач для стохастических дифференциальных уравнений.

 

 


Рекомендуемая литература

 

Основная

 

Пригарин С.М. Введение в численное моделирование случайных процессов и полей. Учебное пособие. Часть 1, 2. - Новосибирск, НГУ, 1999,  301 стр.

 

Основы численного моделирования случайных процессов и  полей. методические указания к курсу "Моделирование случайных процессов и полей". Вып. 1. Схемы авторегрессии и скользящего среднего (составители В.А.Огородников и С.М.Пригарин). Новосибирск, НГУ, 1995, 68 стр.

 

 

Дополнительная

 

 

По теории вероятностей, случайных процессов и полей

 

 

Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

 

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

 

Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971. Т.1.

 

Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Вища школа, 1979.

 

Леоненко Н.Н., Иванов А.В. Статистический анализ случайных полей.- Киев: Вища шк., 1986.

 

Обухов А.М. Статистически однородные поля на сфере // Успехи мат. наук. 1947. Т.2, вып.2. С.196-198.

 

Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М.: Наука, 1973.

 

Пугачев В.С. Теория случайных функций.  М.: Физматгиз, 1962.

 

Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1990.

 

Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.:Наука, 1968.

 

Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С.Королюк, Н.И.Портенко, А.В.Скороход, А.Ф.Турбин. М.: Наука, 1985.

 

Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.

 

Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977.

 

Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

 

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т.2.

 

Яглом А.М. Некоторые классы случайных полей в n-мерном пространстве, родственные стационарным случайным процессам // Теория вероятностей и ее применения. 1957. Т.2, №3. С.292-337.

 

Ядренко М.И. Изотропные случайные поля марковского типа в евклидовых и гильбертовых пространствах // Тр. Всесоюз. совещ. по теории вероятностей и математической статистике. Ереван, 1960. С.263--279.

 

Ядренко М.И. Спектральная теория случайных полей. Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1980.

 

Adler R.J. The Geometry of Random Fields. Chichester: John Wihley \& Sons. 1981.

 

Adler R.J. An Introduction to Continuity, Extrema, and Related Topics for General Gaussian Processes. Institute of Mathematical Statistics (Hayward, California), Lecture Notes-Monograph Series. 1990. Vol.12.

 

 

По линейной алгебре, вычислительной математике и специальным функциям

 

 

Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

 

Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука,

1984.

 

Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

 

Самарский А.А. Введение в численные методы. М: Наука, 1987.

 

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1977.

 

Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

 

 

По стохастическому моделированию

 

 

Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Советское радио, 1971.

 

Васильев К.К. Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерных случайных полей.  Саратов: Изд. Саратовского университета, 1990.

 

Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. М.: Наука, 1984.

 

Гандин Л.С., Каган Р.Л. Статистические методы интерпретации метеорологических данных. Л.: Гидрометеоиздат, 1976.

 

Голенко Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М.: Наука, 1965.

 

Дерин Х., Келли П. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами // ТИИЭР. 1989. Т.77, №10. С.42-71.

 

Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

 

Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977.

 

Михайлов Г.А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью // Докл. АН СССР. 1978. Т.238, №4, С.793-795.

 

Михайлов Г.А. Приближенные модели случайных процессов и полей // Журнал вычисл. математики и матем. физики. Т.23, №3. С.558-566.

 

Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло.  М.: Наука, 1987.

 

Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования случайных процессов // Вопросы исследования операций. Тбилиси: Мецниереба, 1966. С.53-91.

 

Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971.

 

Расщепляев Ю.С., Фандиенко В.Н. Синтез моделей случайных процессов для исследования автоматических систем управления. М.:Энергия, 1981.

 

Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. М: Наука, 1989.

 

Сизова А.Ф., Товстик Т.М. Моделирование случайного поля на сфере// Вестн. ЛГУ. 1984. №1. С.118-120.

 

Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

 

Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.

 

Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.

 

Хамитов Г.П. Имитация случайных процессов. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1983.

 

Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение, 1986.

 

Image Modelling / Ed. by A.Rosenfeld. New York: Acad. Press, 1981.

 

Ogorodnikov V.A.,Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. Netherlands, Utrecht: VSP, 1996.

 

Prigarin S.M. Spectral Models of Random Fields in Monte Carlo Methods. VSP, Utrecht, 2001.

 

Winkler G. Image Analysis, Random Fields and Dynamic Monte Carlo Methods: A Mathematical  Introduction. Springer-Verlag, Berlin, 1996.

 

 

 


Темы для контрольных заданий,

рефератов, самостоятельных исследований и дипломных работ

 

 

1. Выпишите моделирующие формулы для двумерного и трехмерного гауссовского вектора.

 

2. Постройте спектральные модели различных видов для стационарного гауссовского процесса со спектральной плотностью на отрезке (какой корреляционной функции соответствует эта спектральная плотность?).

 

3.* Однородное изотропное поля в n-мерном пространстве получено как след другого однородного изотропного поля в пространстве большей размерности. Как связаны спектральные радиальные меры двух полей?

 

4.* Предложите различные варианты определения погрешности спектральных моделей и разработайте методы поиска спектральных моделей с минимальной погрешностью при заданном числе гармоник.

 

5.* На основе спектральных моделей разработайте методы совместного моделирования гауссовских стационарных случайных процессов и их производных (гауссовских однородных полей и их частных производных). Обратите внимание на то, что для процесса и его производных целесообразно брать разные разбиения спектрального пространства и разное число гармоник. Рассмотрите случай производных нецелого порядка. Постройте условные  совместные  спектральные  модели  для численного моделирования гауссовского стационарного процесса и его  производных,  когда  одновременно  известны  значения процесса и его  производных  в  некоторых  точках,  а  также

реализуйте метод  последовательного  уточнения на одном вероятностном пространстве.

 

6.* Получите спектральные разложения и разработайте спектральные модели для полей изотропных на сфере и стационарных по времени.

 

7.* Разработайте методы численного моделирования обобщенного винеровского процесса. 

 

8.* Смоделируйте движение идеальной (вязкой) жидкости в конечном объеме, взяв в качестве начального поля скоростей однородное соленоидальное гауссовское  случайное поле.

 

9.* Попытайтесь описать класс всех корреляционных функций, для которых можно построить вещественный стационарный случайный процесс с произвольным маргинальным (одномерным) распределением с конечным вторым моментом. Нетрудно доказать, что этот класс корреляционных функций содержит только неотрицательные функции, а также все функции класса Пойа (четные, выпуклые на положительной полуоси функции, монотонно убывающие к нулю на бесконечности). Однако может оказаться, что искомый класс корреляционных функций содержит и невыпуклые функции.

 

10.* Разработайте критерии, которые по заданным корреляциям и одномерным распределениям позволяют говорить о возможности или невозможности построения случайного вектора (процесса, стационарного процесса) с этими корреляциями и одномерными распределениями в качестве маргинальных.

 

11.* Предложите способы построения случайных векторов (процессов) по заданным одномерным распределениям и корреляциям. Попробуйте ``сконструировать" многомерное распределение по заданным корреляциям и одномерным маргинальным распределениям при дополнительном требовании максимальности энтропии многомерного распределения.

 

12.* Докажите или опровергните следующую гипотезу. Так как реализации допредельных полей в спектральных моделях являются гладкими, то можно предположить, что для слабой сходимости рандомизированных спектральных моделей в пространстве функций, непрерывно дифференцируемых с порядком p, при условии сходимости конечномерных распределений достаточно соответствующей непрерывной дифференцируемости аппроксимируемого поля.

 

13.* Исследуйте слабую сходимости условных спектральных моделей в пространствах непрерывно дифференцируемых функций (об условных спектральных моделях см. учебное пособие С.М.Пригарина «Введение в численное моделирование случайных процессов и полей»)

 

14.* Найдите общие условия слабой сходимости вероятностных мер в пространствах С.Л.Соболева и на их основе изучите слабую сходимость спектральных и мозаичных моделей случайных полей.

 

15. Запрограммируйте алгоритмы моделирования гауссовского вектора с заданными вектором средних значений и корреляционной матрицей, используя различные способы факторизации корреляционной матрицы. Сравните быстродействие алгоритмов. Предложите свой метод факторизации корреляционных матриц.

 

16.* Исследуйте задачу о продолжении корреляционной функции однородного изотропного случайного поля с целочисленной решетки на все пространство с сохранением свойств положительной определенности и изотропности.

 

17.* а) Разработайте алгоритмы интерполяции стационарной последовательности до стационарного процесса.

      б) Предложите алгоритмы интерполяции случайных полей с сохранением свойства однородности (и изотропности). Рассмотрите варианты, когда интерполируемые поля заданы на регулярной и нерегулярной сетке.

      в) Исследуйте задачу о продолжении случайного вектора до стационарной последовательности.

 

18.* Исследуйте задачу о восстановлении стохастического дифференциального уравнения по векторному уравнению авторегрессии.

 

19.* Изучите условия устойчивости авторегрессионных моделей случайных полей.

 

20.* Изучите краевую задачу для стохастического уравнения теплопроводности. Исследуйте корректность различных краевых условий.

 

21.* Разработайте алгоритмы и создайте программное обеспечение для решения краевых задач для линейных систем СДУ. Используйте: а) формулы для условных распределений и свойство марковости решения СДУ; б) метод функций Грина. В каких случаях методы, используемые для решения детерминированных краевых задач, могут быть использованы для решения соответствующих стохастических краевых задач?

 

22.* Разработайте методы численного решения краевых задач для нелинейных систем СДУ.

 

Примечание. Нерешенные задачи и задачи повышенной сложности помечены звездочкой.

 

 


Ссылки на ресурсы в Интернете по методам Монте-Карло

 

HISTORY OF MONTE CARLO METHOD

Computational Science Education Project Homepage

Random number generators -- The pLab Project Home Page

Los Alamos National Laboratory Home

Oak Ridge National Laboratory (Oak Ridge ORNL science technology transfer research development energy biology environment materials neutron computing manufacturing human genome project genetic solar nuclear)

MCNP Directory

Links of Interest to MCNP Users

Банк тестовых задач радиационной защиты

RSICC Home Page

MCMC Preprint Service

Web Site for Perfectly Random Sampling with Markov Chains


 Hit Counter